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$X'^{n}=X,\quad$d’où$\quad X'={\sqrt[{n}]{X}},$

il viendra, en substituant,

${\frac {\operatorname {d} X}{X}}=n.{\frac {\operatorname {d} {\sqrt[{n}]{X}}}{\sqrt[{n}]{X}}}\,;$

ce qui donnera

${\frac {\operatorname {d} {\sqrt[{n}]{X}}}{\sqrt[{n}]{X}}}={\frac {1}{n}}.{\frac {\operatorname {d} X}{X}}\,;\qquad$(14)

c’est-à-dire : la dérivée d’une racine entière et positive d’une fonction, divisée par cette même racine, est égale au quotient qu’on obtient en divisant par l’exposant de la racine la dérivée de la fonction divisée par la fonction elle-même.

On a, en vertu de cette formule,

${\frac {\operatorname {d} .X'^{\frac {1}{n}}}{X'^{\frac {1}{n}}}}={\frac {1}{n}}.{\frac {\operatorname {d} X'}{X'}}\,;$

posant

$X'=X^{m},\quad$d’où (11)$\quad {\frac {\operatorname {d} .X'}{X'}}=m.{\frac {\operatorname {d} X}{X}},$

il viendra, en substituant,

${\frac {\operatorname {d} .X^{\frac {m}{n}}}{X^{\frac {m}{n}}}}={\frac {m}{n}}.{\frac {\operatorname {d} X}{X}}\,;\qquad$(15)

c’est-à-dire : la dérivée d’une puissance fractionnaire positive d’une fonction, divisée par cette puissance, est égale au produit qu’on obtient en multipliant par son exposant la dérivée de la fonction divisée par cette fonction elle-même. La formule (13) prouve, en