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outre, qu’il doit en être de même pour une puissance fractionnaire négative.

Si, dans la formule (9), on suppose $X'=a,\ a$ étant une constante quelconque, positive ou négative, entière ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable, réelle ou imaginaire, on aura $\operatorname {d} X=\operatorname {d} a=0\,;$ en conséquence cette formule deviendra

$\operatorname {d} .aX=a.\operatorname {d} X\,;\qquad$(16)

c’est-à-dire : la dérivée du produit d’une fonction par un multiplicateur constant quelconque s’obtient en multipliant la dérivée de la fonction par ce multiplicateur. Cette formule, comme l’on voit, contient, comme cas particulier, les formules (3), (5), (6), (7).

La formule (10) donne, en chassant les dénominateurs,

$\operatorname {d} .XX'X''X'''\ldots =X'X''X'''\ldots \operatorname {d} X+XX''X'''\ldots \operatorname {d} X'+XX'X'''\operatorname {d} X''$

$+\operatorname {d} X''+XX'X''\ldots \operatorname {d} X'''+\ldots \,;\qquad$(17)

c’est-à-dire : la dérivée du produit de tant de fonctions qu’on voudra s’obtient en prenant la somme des produits de la dérivée de chacun des facteurs par tous les autres.

De la formule (11), qui a lieu (13), (14), (15), quelque nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif que l’on prenne pour n, on tire

$\operatorname {d} .X^{n}=n.X^{n-1}\operatorname {d} X\,;\qquad$(18)

c’est-à-dire : la dérivée d’une puissance quelconque d’une fonction s obtient en multipliant cette puissance par son exposant, en diminuant ensuite cet exposant d’une unité et en multipliant enfin par la dérivée de la fonction.

La formule (12) donne

$\operatorname {d} {\frac {X}{X'}}={\frac {X'\operatorname {d} X-X\operatorname {d} X'}{X'^{2}}}\,;\qquad$(19)