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c’est-à-dire : la dérivée d’une fonction fractionnaire soltient en retranchant du produit du dénominateur par la dérivée du numérateur, le produit du numérateur par la dérivée du dénominateur, et en divisant le reste par le quarré de ce même dénominateur.

Si, dans cette formule, on fait $X=1$ et qu’on y change ensuite $X'$ en $X\,;$ à cause de $\operatorname {d} 1=0,$ elle deviendra, comme on le déduirait aussi de la formule (13),

$\operatorname {d} {\frac {1}{X}}=-{\frac {\operatorname {d} X}{X^{2}}}\,;\qquad$(20)

c’est-à-dire : la dérivée de l’inverse d’une fonction s’obtient en di+ visant la dérivée de la fonction, prise en signe contraire, par le quarré de cette même fonction.

La formule (14) donne

$\operatorname {d} {\sqrt[{n}]{X}}={\frac {\sqrt[{n}]{X}}{nX}}\operatorname {d} X\,;\qquad$(21)

c’est-à-dire : la dérivée d’une racine quelconque d’une fonction s’obtient en divisant cette racine par autant de fois la fonction qu’il y a d’unités dans l’exposant, et en multipliant le quotient obtenu par la dérivée de cette même fonction.

Les racines du second degré étant celles qui se présentent le plus fréquemment, il est utile de remarquer 1.^o que, si l’on suppose $n=2,$ cette formule deviendra simplement

$\operatorname {d} {\sqrt {X}}={\frac {\operatorname {d} X}{2{\sqrt {X}}}}\,;\qquad$(22)

2.^o que si, dans cette dernière formule, on change $X$ en $a+2bX+cX^{2},$ d’où $\operatorname {d} X=2(b+cX)\operatorname {d} X\,;$ elle deviendra

$\operatorname {d} {\sqrt {a+2bX+cX^{2}}}={\frac {(b+cX)\operatorname {d} X}{\sqrt {a+2bX+cX^{2}}}}\,;\qquad$(23)