Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/245

3.^o que si enfin l’on a $X=x,$ d’où $\operatorname {d} X=\operatorname {d} x=1,$ celle-ci deviendra simplement

$\operatorname {d} {\sqrt {a+2bx+cx^{2}}}={\frac {(b+cx)}{\sqrt {a+2bx+cx^{2}}}}.\qquad$(24)

Soit $X$ une fonction de $X',$ supposée elle-même fonction de la variable $x,$ le développement de $X,$ considéré comme fonction de $X',$ ne pourra être que de la forme

$X=aX'^{\alpha }+bX'^{\beta }+cX'^{\gamma }+\ldots$

d’où (2), (16) et (18)

$\operatorname {d} X=\left(\alpha aX'^{\alpha -1}+\beta bX'^{\beta -1}+\gamma cX'^{\gamma -1}+\ldots \right)\operatorname {d} X'\,;$

mais si, dans à valeur de $X,$ on considère $X'$ comme la variable, et si, pour indiquer que l’on en prend la dérivée sous ce point de vue, on écrit (Introd.) ${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} X'}}$ au lieu de $\operatorname {d} X,$ on aura

${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} X'}}=\alpha aX'^{\alpha -1}+\beta bX'^{\beta -1}+\gamma cX'^{\gamma -1}+\ldots$

ce qui donnera, en substituant, et en écrivant ${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}$ et ${\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x}}$ au lieu de $\operatorname {d} X$ et $\operatorname {d} X',$ pour faire connaître qu’il s’agit de dérivées relatives à x,

${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} X'}}.{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x}}\,;\qquad$(25)

c’est-à-dire : la dérivée d’une fonction d’une quantité qui est elle-même fonction de la variaile s’obtient en multipliant la dérivée de la première fonction, prise par rapport à la seconde, considérée comme la variable, par la dérivée de celle-ci, prise par rapport à la variable même. La formule (18) offre un exemple de ce cas.