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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Si la fonction $X'$ était elle-même fonction d’une quantité $X''$ fonction de $x$, on aurait, suivant cette formule,

${\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} X''}}.{\frac {\operatorname {d} X''}{\operatorname {d} x}}\,;$

ce qui donnerait, en substituant,

${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} X'}}.{\frac {\operatorname {d} X'}{\operatorname {d} X''}}.{\frac {\operatorname {d} X''}{\operatorname {d} x}}\,;\qquad$(26)

et ainsi de suite, pour un plus grand nombre de fonctions subordonnées les unes aux autres.

Ce qui précède suffit pour déterminer la dérivée de toute fonction algébrique donnée d’une seule variable. Nous renvoyons, pour les exemples, aux divers traités connus de calcul différentiel, et nous passons de suite aux fonctions transcendantes.

On sait que, dans le système de logarithmes de Néper, le seul dont il sera question ici, $X$ étant une fonction quelconque de $x,$ on a

$\operatorname {Log} .X={\frac {X-1}{1}}-{\frac {(X-1)^{2}}{2}}+{\frac {(X-1)^{3}}{3}}-{\frac {(X-1)^{4}}{4}}+\ldots$

d’où (2)

$\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X=\operatorname {d} {\frac {X-1}{1}}-\operatorname {d} .{\frac {(X-1)^{2}}{2}}+\operatorname {d} .{\frac {(X-1)^{3}}{3}}-\operatorname {d} .{\frac {(X-1)^{4}}{4}}+\ldots$

mais on a généralement (6) et (18)

$\operatorname {d} .{\frac {(X-1)^{n}}{n}}{\frac {1}{n}}.\operatorname {d} (X-1)^{n}=(X-1)^{n-1}\operatorname {d} (X-1)=(X-1)^{n-1}\operatorname {d} X\,;$

donc, en substituant

$\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X=\left\{1-(X-1)+(X-1)^{2}-(X-1)^{3}+(X-1)^{4}-\ldots \right\}\,;$

ou plus brièvement