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$\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X={\frac {\operatorname {d} X}{1+(X-1)}}\,;$

c’est-à-dire,

$\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X={\frac {\operatorname {d} X}{X}}.\qquad$(27)

Ce qui nous apprend que la dérivée du logarithme d’une fonction s’obtient en divisant la dérivée de la fonction par la fonction elle-même. C’est déjà ce qu’auraient pu faire soupçonner l’inspection des formules (8), (10), (11), (12), (13), (14), (15)^[1].

La formule (27) donne

$\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X''={\frac {\operatorname {d} X''}{X''}}\,;$

posant

$X''=X^{X'},\quad$d’où$\quad \operatorname {Log} .X''=\operatorname {Log} .X^{X'},$

il viendra, en substituant,

$\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X^{X'}={\frac {\operatorname {d} .X^{X'}}{X^{X'}}},$

ce qui donne

1. En définissant, avec quielquies auteurs, le logarithme de $X$ ce que devient ${\frac {X^{n}-1}{n}}$ lorsque $n$ est nul ; ce qui revient exactement au développement donné plus haut ; la dérivée de $\operatorname {Log} .X$ sera ce que devient la dérivée de ${\frac {X^{n}-1}{n}}$ lorsque $n$ est nul. Or, cette dérivée est $X^{n-1}\operatorname {d} X$ ou $X^{n}{\frac {\operatorname {d} X}{X}},$ qui, lorsque $n$ est nul, se réduit à ${\frac {\operatorname {d} X}{X}},$ comme ci-dessus.