![{\displaystyle \operatorname {d} .\operatorname {Log} .X={\frac {\operatorname {d} X}{1+(X-1)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fc7d04544cc1fa9e0755c98503cb71cdfcdbd3)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \operatorname {d} .\operatorname {Log} .X={\frac {\operatorname {d} X}{X}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1f5f5fe6c08c69d3537d3901e45e8ceee026b4)
(27)
Ce qui nous apprend que la dérivée du logarithme d’une fonction s’obtient en divisant la dérivée de la fonction par la fonction elle-même. C’est déjà ce qu’auraient pu faire soupçonner l’inspection des formules (8), (10), (11), (12), (13), (14), (15)[1].
La formule (27) donne
![{\displaystyle \operatorname {d} .\operatorname {Log} .X''={\frac {\operatorname {d} X''}{X''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009a52df65f8115f444b22237270eb24b7cdb886)
posant
![{\displaystyle X''=X^{X'},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a06f3b1b0ca3aa1c2e10d4e1e2d6030e54ac21e)
d’où
![{\displaystyle \quad \operatorname {Log} .X''=\operatorname {Log} .X^{X'},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af8dcda89f20d587f6d57fa54534219fc4f56be)
il viendra, en substituant,
![{\displaystyle \operatorname {d} .\operatorname {Log} .X^{X'}={\frac {\operatorname {d} .X^{X'}}{X^{X'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8aa7f51a890a6c76543f9b5ba875161713fc2d5)
ce qui donne
- ↑ En définissant, avec quielquies auteurs, le logarithme de
ce que devient
lorsque
est nul ; ce qui revient exactement au développement donné plus haut ; la dérivée de
sera ce que devient la dérivée de
lorsque
est nul. Or, cette dérivée est
ou
qui, lorsque
est nul, se réduit à
comme ci-dessus.