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$\operatorname {d} .X^{X'}=\operatorname {d} .X^{X'}.\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X^{X'}\,;$

c’est-à-dire : la dérivée, uns fonction élevée à une puissance qui est elle-même une fonction s’obtient en multipliant cette puissance par la dérivée de son logarithme.

Soit d’abord $X'=a,\ a$ étant une constante quelconque, positive ou négative, entière ou fractionnaire, commensurable ou meusurable, réelle ou imaginaire ; on aura

$\operatorname {Log} .X^{X'}=\operatorname {Log} .Xs^{a}=a\operatorname {Log} .X,$

et, par suite (16) et (27),

$\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X^{X'}=a.{\frac {\operatorname {d} X}{X}}\,;$

ce qui donnera, en substituant,

$\operatorname {d} .X^{a}=a.X^{a}{\frac {\operatorname {d} X}{X}},$

ou encore

$\operatorname {d} .X^{a}=a.X^{a-1}\operatorname {d} X\,;\qquad$(29)

c’est-à-dire : la dérivée d’une puissance constante quelconque d’une fonction s’obtient en multipliant la puissance par son exposant, diminuant ensuite cet exposant d’une unité et multipliant enfin par la dérivée de la fonction. Cette formule, comme l’on voit, contient, comme cas particuliers, les formules (18), (20), (21).

Si, dans la formule (28), on fait $X=a,\ a$ étant toujours une constante quelconque, et qu’on change ensuite $X'$ en $X,$ elle deviendra