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$\operatorname {d} .a^{x}=a^{x}.\operatorname {d} .\operatorname {Log} .a^{x}\,;$

mais on a

$\operatorname {Log} .a^{X}=X\operatorname {Log} .a,\quad$d’où (16)$\quad \operatorname {d} .\operatorname {Log} .a^{X}=\operatorname {Log} .a.\operatorname {d} X\,;$

il viendra donc, en substituant,

$\operatorname {d} .a^{X}=a^{X}.\operatorname {Log} .a.\operatorname {d} X\,;$(30)

c’est-à-dire : la dérivée d’une puissance d’une constante dont l’exposant est une fonction s’obtient en multipliant cette puissance par le logarithme de la constante et par la dérivée de la fonction.

Dans le cas particulier où $a=e,\ e$ étant la base des logarithmes de Néper, ou ce que devient ${\sqrt[{n}]{1+n}}$ lorsque $n$ est nul, on aura simplement

$\operatorname {d} .e^{X}=e^{X}.\operatorname {d} X\,;$(31)

c’est-à-dire : la dérivée d’une puissance de la base des logarithmes de Néper dont l’exposant est une fonction s’obtient en multipliant cette puissance par la dérivée de son exposant^[1].

1. On parviendrait directement à ce résultat, en partant de la formule
   $e^{X}=1+{\frac {X}{1}}+{\frac {X^{2}}{1.2}}+{\frac {X^{3}}{1.2.3}}+{\frac {X^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots$

   qui donne

   $\operatorname {d} .e^{X}=\left(1+{\frac {X}{1}}+{\frac {X^{2}}{1.2}}+{\frac {X^{3}}{1.2.3}}+{\frac {X^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots \right)\operatorname {d} X,$