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Passons présentement aux fonctions circulaires. On sait que $X$ étant une fonction quelconque de $x,$ on a

$\operatorname {Ang} .(\operatorname {Tang} .=X)={\frac {X}{1}}-{\frac {X^{3}}{3}}+{\frac {X^{5}}{5}}-{\frac {X^{7}}{7}}+\ldots \,;$

donc (2)

$\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Tang} .=X)=\operatorname {d} .{\frac {X}{1}}-\operatorname {d} .{\frac {X^{3}}{3}}+\operatorname {d} .{\frac {X^{5}}{5}}-\operatorname {d} .{\frac {X^{7}}{7}}+\ldots \,;$

mais on a généralement, (16) et (18),

$\operatorname {d} .{\frac {X^{n}}{n}}=X^{n-1}\operatorname {d} X\,;$

donc, en substituant,

c’est-à-dire, comme ci-dessus,

$\operatorname {d} .e^{X}=e^{X}.\operatorname {d} X.$

On aurait de même

$\operatorname {d} .e^{X'}=e^{X'}.\operatorname {d} X'\,;$

posant alors

$e^{X'}=X,\quad$d’où$\quad X'=\operatorname {Log} .X\quad$et$\quad \operatorname {d} X'=\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X,$

il viendrait, en substituant,

$\operatorname {d} X=X\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X$

d’où l’on conclurait, comme nous l’avons trouvé ci-dessus,

$\operatorname {d} .\operatorname {Log} .X={\frac {\operatorname {d} X}{X}}.$