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$\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Tang} .=X)=\left(1-X^{2}+X^{4}-X^{6}+X^{8}-\ldots \right)\operatorname {d} X\,;$

ou, plus brièvement,

$\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Tang} .=X)={\frac {\operatorname {d} X}{1+X^{2}}}\,;\qquad$(32)

c’est-à-dire : la dérivée d’un angle dont la tangente tabulaire est une fonction quelconque s’obtient en divisant la dérivée de cette tangente par le quarré de la sécante du même angle.

On a

$\operatorname {Ang} .(\operatorname {Cot} .=X)={\frac {1}{2}}\varpi -\operatorname {Ang} .(\operatorname {Tang} .=X)\,;$

d’où

$\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Cot} .=X)=-\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Tang} .=X)\,;$

ce qui donne, en substituant,

$\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Cot} .=X)=-{\frac {\operatorname {d} X}{1+X^{2}}}\,;\qquad$(33)

c’est-à-dire : la dérivée d’un angle dont la cotangente tabulaire est une fonction quelconque s’obtient en divisant la dérivée de cette cotangente, prise en signe contraire, par le quarré de la cosécante du même angle.

La formule (32) donne

$\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Tang} .=X')={\frac {\operatorname {d} X'}{1+X'^{2}}}\,;$

posant alors