Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/252

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\operatorname {Ang} .(\operatorname {Tang} .=X')=X,$ d’où $X'=\operatorname {Tang} .X,$ et $1+X'^{2}={\frac {1}{\operatorname {Cos} .^{2}X}}\,;$

il viendra, en substituant,

$\operatorname {d} X=\operatorname {Cos} .^{2}X\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X\,;$

ce qui donnera

$\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X={\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {Cos} .^{2}X}}\,;$

c’est-à-dire : la dérivée de la tangente tabulaire d’un angle fonction quelconque s’obtient en divisant la dérivée de l’angle par le quarré de son cosinus.

La formule (33) donne

$\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Cot} .=X')=-{\frac {\operatorname {d} X'}{1+X'^{2}}}\,;$

posant alors

$\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cot} .=X')=X,\quad$d’où$X'=\operatorname {Cot} .X,\quad$et$\quad 1+X'^{2}={\frac {1}{\operatorname {Sin} .^{2}X}},$

il viendra, en substituant,

$\operatorname {d} X=-\operatorname {Sin} .^{2}X.\operatorname {d} .\operatorname {Cot} .X\,;$

ce qui donnera

$\operatorname {d} .\operatorname {Cot} .X=-{\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {Sin} .^{2}X}}\,;\qquad$(35)

c’est-à-dire : la dérivée de la cotangente tabulaire d’un angle fonction quelconque s’obtient en divisant la dérivée de l’angle, prise en signe contraire, par le quarré de son sinus.