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On sait que, $X$ étant une fonction quelconque, on a

$\operatorname {Sin} .X={\frac {\operatorname {Tang} .X}{\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}},\qquad \operatorname {Cos} .X={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}}\,;$

d’où l’on déduit d’abord, (19) et (20),

$\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .X={\frac {{\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X-\operatorname {Tang} .X\operatorname {d} {\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}}{1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}},$

$\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .X/=-{\frac {\operatorname {d} {\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}}{1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}\,;$

mais on a (23)

$\operatorname {d} .{\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}={\frac {\operatorname {Tang} .X.\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X}{\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}}\,;$

ce qui donne, en substituant,

$\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .X={\frac {{\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}-{\frac {\operatorname {Tang} .^{2}X}{\sqrt {1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}}}}{1+\operatorname {Tang} ^{2}.X}},$

$\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .X=-{\frac {\operatorname {Tang} .X.\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X}{\left(1+\operatorname {Tang} ^{2}.X\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

ou encore

$\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .X={\frac {\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X}{\mathrm {S{\acute {e}}c} .^{3}X}},\qquad \operatorname {d} .\operatorname {Cos} .X=-{\frac {\operatorname {Tang} .X.\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X}{\mathrm {S{\acute {e}}c} .^{3}X}}\,;$

mettant dans ces formules pour $\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X$ sa valeur (34), il viendra

$\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .X=-{\frac {\operatorname {d} .X}{\mathrm {S{\acute {e}}c} .^{3}X\operatorname {Cos} .^{2}X}},\qquad \operatorname {d} .\operatorname {Cos} .X=-{\frac {\operatorname {Tang} .X.\operatorname {d} .X}{\mathrm {S{\acute {e}}c} .^{3}X\operatorname {Cos} .^{2}X}}\,;$

ou encore