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La formule (36) donne

$\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .X'=\operatorname {d} X'.\operatorname {Cos} .X'\,;$

posant

$\operatorname {Sin} .X'=X,\quad$d’où$\quad X'=\operatorname {Ang} .(\operatorname {Sin} .=X),\quad$et$\quad \operatorname {Cos} .X'={\sqrt {1-X^{2}}}\,;$

il viendra, en substituant,

$\operatorname {d} X={\sqrt {1-X^{2}}}.\operatorname {d} .\operatorname {Ang} .(\operatorname {Sin} .=X)\,;$

ce qui donnera

on aurait pu partir aussi des définitions connues

$\operatorname {Sin} .X={\frac {e^{X{\sqrt {-1}}}-e^{-X{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\qquad \operatorname {Cos} .X={\frac {e^{X{\sqrt {-1}}}+e^{-X{\sqrt {-1}}}}{2}},$

qui auraient conduit aux mêmes résultats. En considérant ensuite que

$\operatorname {Tang} .X={\frac {\operatorname {Sin} .X}{\operatorname {Cos} .X}},$

on en aurait conclu (19)

$\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X={\frac {\operatorname {Cos} .X.\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .X-\operatorname {Sin} .X.\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .X}{\operatorname {Cos} .^{2}X}},$

ou bien (36), (37)

$\operatorname {d} .\operatorname {Tang} .X={\frac {\left(\operatorname {Cos} .^{2}X+\operatorname {Sin} .^{2}X\right)\operatorname {d} .X}{\operatorname {Cos} .^{2}X}}={\frac {\operatorname {d} .X}{\operatorname {Cos} .^{2}X}}\,;$

comme nous l’avons déjà trouvé ci-dessus (34).