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$\operatorname {d.S{\acute {e}}c} .X=-{\frac {\operatorname {d} X.\operatorname {Sin} .X}{\operatorname {Cos} .^{2}X}},\qquad \operatorname {d.Cos{\acute {e}}c} .X=-{\frac {\operatorname {d} X.\operatorname {Cos} .X}{\operatorname {Sin} .^{2}X}}\,;$

ou enfin

$\operatorname {d.S{\acute {e}}c} .X={\frac {\operatorname {Tang} .X}{\operatorname {Cos} .X}}\operatorname {d} X,\quad$(40)$\quad \operatorname {d.Cos{\acute {e}}c} .X=-{\frac {\operatorname {Cot} .X}{\operatorname {Sin} .X}}\operatorname {d} X\,;\quad$(41)

c’est-à-dire : la dérivée de la sécante tabulaire d’un angle s’obtient en multipliant la dérivée de l’angle par sa tangente, et en divisant le produit par son cosinus.

La dérivée de la cosècanie tabulaire d’un angle s’obtient en multipliant la dérivée de l’angle, prise en signe contraire, par sa cotangente, et en divisant le produit par son sinus.

La formule (40) donne

$\operatorname {d.S{\acute {e}}c} .X'={\frac {\operatorname {Tang} .X'}{\operatorname {Cos} .X'}}\operatorname {d} X'\,;$

posant alors

$\operatorname {S{\acute {e}}c} .X'=X,\quad$d’où$\quad X'=\operatorname {Ang} .(\operatorname {S{\acute {e}}c} .=X)\,;$

on aura

$\operatorname {Tang} .X'={\sqrt {X^{2}-1}},\qquad \operatorname {Cos} .X'={\frac {1}{X}},$

cela donnera, en substituant,