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posée de ce qu’elle devient par l’effet de cet accroissement, à diviser le reste par cet accroissement et à faire enfin ce même accroissement nul dans le quotient.

Soit, par exemple, la fonction déjà considérée

$Ax^{\alpha }+Bx^{\beta }+Cx^{\gamma }+\ldots$

dont on se propose d’obtenir la fonction dérivée par ce nouveau procédé ; en désignant toujours l’accroissement par $g,$ l’état varié de la fonction sera

$A(x+g)^{\alpha }+B(x+g)^{\beta }+C(x+g)^{\gamma }+\ldots$

duquel, retranchant la fonction primitive, il viendra pour reste

$A\left\{(x+g)^{\alpha }-x^{\alpha }\right\}+B\left\{(x+g)^{\beta }-x^{\beta }\right\}+C\left\{(x+g)^{\gamma }-x^{\gamma }\right\}+\ldots \,;$

de sorte que la dérivée sera ce que devient la fraction

${\frac {A\left\{(x+g)^{\alpha }-x^{\alpha }\right\}+B\left\{(x+g)^{\beta }-x^{\beta }\right\}+C\left\{(x+g)^{\gamma }-x^{\gamma }\right\}+\ldots }{g}}$

lorsque $g$ est nul. Or, on a

${\begin{aligned}&{\frac {(x+g)^{\alpha }-x^{\alpha }}{g}}=\alpha x^{\alpha -1}+{\frac {\alpha }{1}}.{\frac {\alpha -1}{2}}x^{\alpha -2}g+\ldots ,\\\\&{\frac {(x+g)^{\beta }-x^{\beta }}{g}}=\beta x^{\beta -1}+{\frac {\beta }{1}}.{\frac {\beta -1}{2}}x^{\beta -2}g+\ldots ,\\\\&{\frac {(x+g)^{\gamma }-x^{\gamma }}{g}}=\gamma x^{\gamma -1}+{\frac {\gamma }{1}}.{\frac {\gamma -1}{2}}x^{\gamma -2}g+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

substituant donc dans la fraction ci-dessus, elle deviendra