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$\alpha Ax^{\alpha -1}+\beta Bx^{\beta -1}+\gamma Cx^{\gamma -1}+\ldots$

${\begin{aligned}&+\left({\frac {\alpha }{1}}{\frac {\alpha -1}{2}}Ax^{\alpha -2}+{\frac {\beta }{1}}{\frac {\beta -1}{2}}Bx^{\beta -2}+{\frac {\gamma }{1}}{\frac {\gamma -1}{2}}Cx^{\gamma -2}+\ldots \right)g\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

posant enfin, dans ce résultat, $g=0,$ on obtiendra, pour la dérivée demandée,

$\alpha Ax^{\alpha -1}+\beta Bx^{\beta -1}+\gamma Cx^{\gamma -1}+\ldots$

comme nous l’avions déjà obtenue par l’autre procédé.

Nous aurions donc pu, des le début, adopter cette définition des fonctions dérivées, et en déduire les règles de dérivation des fonctions que nous aurions trouvées exactement telles que nous les avons déjà obtenues dans le paragraphe I ; et c’est même ainsi qu’on en use communément ; mais il nous a paru beaucoup plus naturel, et conséquemment plus convenable, de choisir de préférence, pour définition des dérivées, une opération fort simple que nos premiers pas dans l’analyse et dans son application à la géométrie des lignes et des surfaces courbes doivent nous avoir rendue tout à fait familière.

Les expressions fonction dérivée et coefficient différentiel étant, d’après ce qu’on vient de voir, rigoureusement synonymes, nous ferons, à l’avenir, exclusivement usage de la dernière comme étant la plus usitée, et, en conséquence, nous substituerons, aux mots dérivation et dériver, les mots différentiation et dériver.

SECTION II.

Différentiation des fonctions de plusieurs variables.

§. I.

Différentiation des fonctions explicites.

Soit $S$ une fonction quelconque de tant de variables $x,y,z,\ldots$ qu’on voudra ; si on la différentie $\alpha$ fois consécutivement, par rap-