De la différentiation des équations.
Dans tout ce qui précède, nous avons constamment considéré des fonctions d’une ou de plusieurs variables données explicitement, soit immédiatement soit médiatement, par l’intermédiaire d’autres fonctions de ces mêmes variables ; mais on pourrait fort bien n’avoir, entre des variables et des fonctions de ces variables dont on se propose d’obtenir les divers coefficiens différentiels, que de simples équations de relation, auquel cas on dirait que ces fonctions sont données implicitement.
Pour commencer par le cas le plus simple, soit, entre les deux variables et l’équation quelconque
en vertu de cette équation, est une certaine fonction de , qu’on obtiendrait explicitement par la résolution même de l’équation. On peut donc se proposer de déterminer les coefficiens différentiels des différens ordres de cette fonction.
Le première pensée qui se présente, pour résoudre cette question, est de résoudre l’équation proposée par rapport à , ce qui ramènerait la question au cas des fonctions explicites, dont nous avons traité assez au long (SEC. I.er, §.I.er).
Mais, outre que l’équation pourrait être transcendante, et qu’il est bien peu d’équations de cette classe que nous sachions résoudre, quand bien même cette équation serait algébrique, nous ne saurions pas la résoudre si elle était d’un degré supérieur au quatrième, et même, passé le second, les valeurs que nous obtiendrions pour seraient, en général, d’une excessive complication. Voilà donc une difficulté que nous devons nous attacher à éluder.
Que nous sachions ou que nous ne sachions pas résoudre cette
