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équation, $y$ n’en est pas moins une certaine fonction de $x$ que nous pouvons représenter comme il suit :

$y=\varphi x,$

et si nous substituons cette valeur dans la proposée, à la place de $y$ ce qui donnera

$\operatorname {f} (x,\varphi x)=\psi x=0,$

nous en ferons une équation identique qui devra avoir lieu quel que soit $x$, et qui conséquemment devra encore avoir lieu quel que soit $g,$ lorsqu’on y changera $x$ en $x+g.$

Mais si l’on pose

$\operatorname {f} (x,y)=\operatorname {f} (x,\varphi x)=\psi x=S,$

on aura

$\psi (x+g)=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {g}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {g^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {g^{3}}{1.2.3}}+\ldots \,;$

et, puisque ce développement doit être nul ; quel que soit $g,$ on devra avoir cette suite d’équations

$S=0,\quad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}=0\ldots \,;$

ainsi, étant donnée une équation entre deux variables, on peut égaler à zéro les coefficiens différentiels successifs de son premier membre, pris par rapport à l’une d’elles, pourvu que, dans ce premier membre, on considère l’autre variable comme une fonction de celle-là.

Il faudra donc, dans ${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}},$ traiter $y$, comme nous avons traité $P$ dans la formule (62), ce qui donnera