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${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0\,;\qquad$(64)

c’est là ce qu’on appelle l’équation différentielle de la proposée $S=0.$

Ces deux équations sont de la forme

$\operatorname {f} (x,y),\qquad \operatorname {F} \left(x,y,{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)=0\,;$

de sorte que si, après avoir éliminé $y$ entre elles, on résolvait l’équation résultante par rapport à ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ on obtiendrait la valeur de ce coefficient différentiel en fonction de $x$, telle qu’on l’aurait obtenue par la résolution de la proposée, suivie de la différentiation ; mais ce sont là des opérations le plus souvent aussi inutiles qu’elles seraient impraticables.

Remarquons que, puisque la proposée et sa différentielle ont lieu en même temps, il doit en être de même de toutes les combinaisons qu’on voudra faire de l’une et de l’autre ; et, comme ces combinaisons sont en nombre infini, il s’ensuit qu’une même équation primitive, entre deux variables, peut avoir une infinité de différentielles différentes, mais qui toutes, par l’élimination de la fonction, au moyen de la proposée, conduiraient à la même valeur du coefficient différentiel de cette fonction, exprimé au moyen de la variable.

Si, dans l’équation $\operatorname {f} (x,y)=0,$ nous eussions considéré $x$ comme fonction de $y$, ainsi que nous pouvions le faire ; en représentant toujours son premier membre par $S,$ son équation différentielle aurait été

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0.\qquad$(65)

Au lieu des équations (64) et (65), où les deux variables $x$ et $y$ ne