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sont pas traitées de la même manière, on peut en obtenir une où elles soient traitées symétriquement. Pour cela, concevons que, outre l’équation proposée $\operatorname {f} (x,y)=0$ ou $S=0,$ on pose encore une autre équation arbitraire $\operatorname {F} (x,y,r)=0,\ r$ étant une nouvelle variable. Au moyen de ces deux équations, $x$ et $y$ seront des fonctions de $r$ qu’on obtiendrait, par l’élimination, pour chaque forme particulière qu’on voudrait adopter pour la fonction $\operatorname {F}$ on aura donc, au moyen de ces deux équations,

$x=\varphi r,\qquad y=\psi r\,;$

au moyen de quoi la proposée deviendra

$S=\operatorname {f} (\varphi r,\psi r)=0\,;$

équation qui devra être identique quelle que soit $r$. On pourra donc égaler à zéro la différentielle de son premier membre, prise par rapport à $r$ ; on pourra donc aussi égaler à zéro la différentielle de $S$ prise par rapport à $r$, pourvu qu’on y considère $x$ et $y$ comme des fonctions de cette variable ; ce qui donuera (54)

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} r}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} r}}=0\,;\qquad$(66)

équation qui comprend implicitement les équations (64) et (65) qui s’en déduisent, savoir : la première en posant $r=x,$ et la seconde en posant $r=y.$

Si l’on convient de représenter par la caractéristique $\delta$ les différentielles de $x$ et de $y$ prises par rapport à $r$, le dénominateur $\operatorname {d} r=1$ deviendra dès lors superflu, et l’on pourra écrire simplement

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y=0\,;\qquad$(67)

et c’est ainsi qu’il nous arrivera fréquemment d’en user par la