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suite. Mais on ne doit pas perdre de vue que ces deux dernières équations n’auront aucun sens, tant qu’on n’aura pas statué sur la forme de la fonction $\operatorname {F} \,;$ c’est-à-dire que le rapport de $\delta x$ à $\delta y$ y demeurera tout à fait indéterminé. Ce $\delta x$ et ce $\delta y$ sont dits alors les variations de $x$ et de $y.$

Soit présentement l’équation, entre trois variables,

$S=\operatorname {f} (x,y,z)=0\,;$

au moyen de cette équation, $z$ sera une certaine fonction de $x$ et $y,$ que l’on obtiendrait en la résolvant par rapport à $z$ on peut donc poser

$z=\varphi (x,y)\,;$

ce qui donnera, en substituant,

$S=\operatorname {f} \left[x,y,\varphi (x,y)\right]=0\,;$

équation qui devra avoir lieu quels que soient les grandeur et rapport des variables $x$ et $y$, et devra conséquemmentsubsister encore, quels que soient les grandeur et rapport de $g$ et $h$, en y changeant respectivement ces variables en $x+g$ et $y+h\,;$ de là on conclura, por un raisonnement analogue à celui que nous avons fait ci-dessus, que l’on peut égaler à zéro les deux différentielles partielles de $S,$ relatives à $x$ et à $y$ ; pourvu qu’on y considère $z$ comme une fonction de ces deux variables ; ce qui donnera

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=0,\qquad$(68)

équations desquelles on tirera les valeurs des deux coefficiens différentiels partiels ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}},\ {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}},$ de la fonction $z$.

Au surplus, au lieu d’opérer de cette manière, on pourrait poser les deux équations arbitraires.