![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,r)=0,\qquad \Phi (x,y,z,r)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0aa9c9140076f3e788500bc09de56e1cfe4efb8)
au moyen desquelles et de la proposée
deviendraient des fonctions de la seule variable
; on aurait ainsi
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} r}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} r}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} r}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d417e83b3f95827dbeb64fdaaf42eedab5499ae)
ou simplement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfc17775518da1bb16f876e1c5ccf5ee6f6cda7)
(69)
équation qui n’aura de sens qu’autant qu’on aura statué sur la forme des fonctions
et
Soient entre les trois variables
les deux équations
![{\displaystyle M=\varphi (x,y,z)=0,\qquad N=\psi (x,y,z)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc5774e3f3e5962387f2258683cffb08844dd91)
en vertu de ces équations,
et
sont des fonctions de
d’où il suit, par les mêmes considérations que ci-dessus, qu’on pourra égaler à zéro les différentielles de
et de
prises par rapport à
, pourvu qu’on y traite
et
comme des fonctions de cette variable, ce qui donnera
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} z}}=0\,;\ \mathrm {(70)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bdd49d711d9570e0ed08f24ff3e7e685f160c9)
équations qui donneront les valeurs des coefficiens différentiels
des deux fonctions
et
de la variable
. On pourrait au surplus écrire, plus symétriquement,