Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/290

$\operatorname {F} (x,y,z,r)=0,\qquad \Phi (x,y,z,r)=0\,;$

au moyen desquelles et de la proposée $x,y,z$ deviendraient des fonctions de la seule variable $r$ ; on aurait ainsi

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} r}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} r}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} r}}=0\,;$

ou simplement

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;\qquad$(69)

équation qui n’aura de sens qu’autant qu’on aura statué sur la forme des fonctions $\operatorname {F}$ et $\Phi .$

Soient entre les trois variables $x,y,z$ les deux équations

$M=\varphi (x,y,z)=0,\qquad N=\psi (x,y,z)=0\,;$

en vertu de ces équations, $x$ et $y$ sont des fonctions de $z\,;$ d’où il suit, par les mêmes considérations que ci-dessus, qu’on pourra égaler à zéro les différentielles de $M$ et de $N,$ prises par rapport à $z$, pourvu qu’on y traite $x$ et $y$ comme des fonctions de cette variable, ce qui donnera

${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} z}}=0\,;\ \mathrm {(70)}$

équations qui donneront les valeurs des coefficiens différentiels ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}},{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}},$ des deux fonctions $x$ et $y$ de la variable $z$. On pourrait au surplus écrire, plus symétriquement,