![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}\delta z=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} x}}\delta x\ +{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} y}}\delta y\ +{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} z}}\delta z=0,\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05287e344531db9feb65f34a73b654494651e72b)
(71)
pourvu qu’il demeurât entendu que
sont les différentielles de
prises par rapport à une quatrième variable
} liée aux trois autres par une équation arbitraire
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,r)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c046e2050e894a0d746352cc5a88396a4a13f60a)
Nous avons vu ci-dessus que, si l’on avait, entre les deux variables
et
, l’équation de relation
![{\displaystyle S=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98821c682a9f93bc825f6f15a51500ae96d202b1)
on avait aussi
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46bcbbbc280b4e0bf5b7f944862b1b2331862935)
au moyen de ces deux équations
et
sont des fonctions de
en différentiant donc la dernière sous ce point de vue, il viendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98872bf022266ef1c3452ff0fc2d0aa9dd501385)
(72)
équation qui donnerait
en fonction de
, si l’on en chassait
et
au moyen des deux premières. Par des différentiations ultérieures on trouverait successivement ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}},{\frac {\operatorname {d} ^{4}y}{\operatorname {d} x^{4}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8f8a975f60789adc3bfe07c8194fdfc61dbe4b)
Nous avons également vu ci-dessus que si, entre les variablei
on avait l’équation de relation