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$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}\delta z=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} x}}\delta x\ +{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} y}}\delta y\ +{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} z}}\delta z=0,\end{aligned}}\right\}\quad$(71)

pourvu qu’il demeurât entendu que $\delta x,\delta y,\delta z$ sont les différentielles de $x,y,z$ prises par rapport à une quatrième variable $r$} liée aux trois autres par une équation arbitraire

$\operatorname {F} (x,y,z,r)=0.$

Nous avons vu ci-dessus que, si l’on avait, entre les deux variables $x$ et $y$, l’équation de relation

$S=0,$

on avait aussi

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0\,;$

au moyen de ces deux équations $y$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ sont des fonctions de $x\,;$ en différentiant donc la dernière sous ce point de vue, il viendra

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=0\,;\qquad$(72)

équation qui donnerait ${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}$ en fonction de $x$, si l’on en chassait $y$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ au moyen des deux premières. Par des différentiations ultérieures on trouverait successivement ${\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}},{\frac {\operatorname {d} ^{4}y}{\operatorname {d} x^{4}}},\ldots$

Nous avons également vu ci-dessus que si, entre les variablei $x,y,z,$ on avait l’équation de relation