Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/292

$S=0,$

on avait aussi les deux suivantes

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;$

au moyen de ces trois équations, $z,{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}},{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}$ sont des fonctions de $x$ et $y\,;$ en différentiant donc les deux dernières sous ce point de vue, et remarquant que la différentielle de l’une par rapport à $y$ est identique avec la différentielle de l’autre par rapport à $x,$ il en résultera seulement ces trois-ci :

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z^{2}}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}=0\,;\end{aligned}}\right\}\mathrm {(73)}$

équations qui donneraient les trois coefficient différentiels du second ordre ${\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}},\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y^{2}}}$ de la fonction $z,$ au moyen des deux variables $x$ et $y$, si l’on en chassait $z,\ {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}$ et ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}},$ au moyen des trois premières. Par des différentiations ultérieures on obtiendrait les coefficiens différentiels des ordres plus élevés.

Nous avons, vu aussi que si, entre les trois mêmes variables $x,y,z$, on avait les deux équations

$M=0,\qquad N=0\,;$

on avait aussi les deux suivantes :