![{\displaystyle S=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98821c682a9f93bc825f6f15a51500ae96d202b1)
on avait aussi les deux suivantes
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d292d8cb505764d473dede10e00d9064a644bd0)
au moyen de ces trois équations,
sont des fonctions de
et
en différentiant donc les deux dernières sous ce point de vue, et remarquant que la différentielle de l’une par rapport à
est identique avec la différentielle de l’autre par rapport à
il en résultera seulement ces trois-ci :
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z^{2}}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z^{2}}}\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}=0\,;\end{aligned}}\right\}\mathrm {(73)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663f6edd5fdf1ba79b5ff4a5f0ccdd25b827af91)
équations qui donneraient les trois coefficient différentiels du second ordre
de la fonction
au moyen des deux variables
et
, si l’on en chassait
et
au moyen des trois premières. Par des différentiations ultérieures on obtiendrait les coefficiens différentiels des ordres plus élevés.
Nous avons, vu aussi que si, entre les trois mêmes variables
, on avait les deux équations
![{\displaystyle M=0,\qquad N=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354c1d515f06e82ba34738554291fa0f2e9b9c37)
on avait aussi les deux suivantes :