![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} z}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44688741722158b61aa68e7f3a09286f10951182)
au moyen decesquatre équations
sont des fonctions de
en différentiant donc les deux dernières sous ce point de vue, on obtiendrait ces deux-ci :
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} z^{2}}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} z^{2}}}=0\,;\end{aligned}}\right\}\mathrm {(74)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0be971e3583a00df87876f2a3b175ed2b93fe3)
lesquelles donneront les deux coefficiens différentiels du second ordre
en fonction de
, lorsqu’on en aura chassé
au moyen des quatre premières. Par des différentiations ultérieures on obtiendrait successivement les coefficiens différentiels des ordres supérieurs.
Généralement, si, entre
variables, on a les
équations
![{\displaystyle S_{1}=0,\qquad S_{2}=0,\qquad S_{3}=0,\qquad S_{n}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8263c7f82b28ab7db1962978eb31403cce550911)
on pourra considérer
de ces variables comme des fonctions des
autres, et, en différentiant successivement ces équations sous ce point de vue, on obtiendra les coefficiens différentiels de tous les ordres de ces mêmes fonctions.
Si nous écrivions pour des commençans, nous nous serions bien gardés d’entrer aussi avant dans la théorie, sans en avoir montré l’utilité par quelques applications simples, et sans avoir appuyé les préceptes par un nombre d’exemples suffisant pour faire bien comprendre le mécanisme du calcul pratique ; mais nous avons pensé