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${\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} z}}=0,\quad {\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} z}}=0\,;$

au moyen decesquatre équations $x,y,{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}},{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}$ sont des fonctions de $z\,;$ en différentiant donc les deux dernières sous ce point de vue, on obtiendrait ces deux-ci :

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} z^{2}}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} z^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} x\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}N}{\operatorname {d} z^{2}}}=0\,;\end{aligned}}\right\}\mathrm {(74)}$

lesquelles donneront les deux coefficiens différentiels du second ordre ${\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} z^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} z^{2}}},$ en fonction de $z$, lorsqu’on en aura chassé $x,y,{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}},{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}$ au moyen des quatre premières. Par des différentiations ultérieures on obtiendrait successivement les coefficiens différentiels des ordres supérieurs.

Généralement, si, entre $m$ variables, on a les $n$ équations

$S_{1}=0,\qquad S_{2}=0,\qquad S_{3}=0,\qquad S_{n}=0\,;$

on pourra considérer $n$ de ces variables comme des fonctions des $m-n$ autres, et, en différentiant successivement ces équations sous ce point de vue, on obtiendra les coefficiens différentiels de tous les ordres de ces mêmes fonctions.

Si nous écrivions pour des commençans, nous nous serions bien gardés d’entrer aussi avant dans la théorie, sans en avoir montré l’utilité par quelques applications simples, et sans avoir appuyé les préceptes par un nombre d’exemples suffisant pour faire bien comprendre le mécanisme du calcul pratique ; mais nous avons pensé