Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/301

$h={\frac {bk}{b-b'}},\qquad h'={\frac {b'k}{b-b'}}$^[1] ;

d’où, en substituant dans la valeur de $T,$

$T={\frac {1}{3}}k{\frac {b^{3}-b'^{3}}{b-b'}}={\frac {1}{3}}k\left(b^{2}+bb'+b'^{2}\right)\,;$

mais on a

$b^{2}=B,\qquad bb'={\sqrt {BB'}},\qquad b'^{2}=B'\,;$

donc finalement

$T={\frac {1}{3}}k\left(B+{\sqrt {BB'}}+B'\right)\,;$

ce qui est l’expression connue. On parviendrait, par une marche analogue, et avec une bien plus grand facilité encore, à l’expression connue de la surface convexe du tronc de cône à bases parallèles.

On ne manquera pas sans doute de dire que je viens de faire de l’algèbre et non de la géométrie. Je me disculperai de ce grave reproche en faisant remarquer qu’on peut fort bien remplacer les équations dont je me suis servi par des proportions équivalentes et mettre ensuite deux lettres partout où je n’en ai mis qu’une seule ; car c’est là, aux yeux de beaucoup de gens, le caractère constitutif de la géométrie. Il en résultera seulement un peu plus de complication dans l’écriture, et voilà tout. Il est d’ailleurs très-facile de démontrer, par la géométrie pure, que $\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)(a-b)=a^{3}-b^{3}.$

Quel peut être d’ailleurs le motif de cette gothique et inconceva-

1. On pourrait traiter d’une manière analogue le problème des deux bougies, que l’on a coutume de donner comme un problème du second degré.
   J. D. G.