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Cela posé, soit fait $\theta ={\frac {\varpi }{4}},$ il en résultera

$2\theta ={\frac {\varpi }{2}},\quad {\frac {2\theta }{\varpi }}={\frac {1}{2}},\quad \operatorname {Cos} .2\theta =0,\quad 2\operatorname {Cos} .^{2}\theta =1\,;$

en conséquence l’équation (5) deviendra

$1=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)^{2(\alpha -1)}\left(1-{\frac {1}{4.9}}\right)^{2(\beta -1)}\left(1-{\frac {1}{4.25}}\right)^{2(\gamma -1)}\ldots \,;$

or, comme les facteurs

$1-{\frac {1}{4}},\qquad 1-{\frac {1}{4.9}},\qquad 1-{\frac {1}{4.25}},\ldots$

sont tous moindres que l’unité, cette équation ne saurait subsister qu’autant qu’on aura

$\alpha =\beta =\gamma =\ldots =1\,;$

donc on a simplement (1)

$R=2P\left(1-{\frac {4\theta ^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\theta ^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {4\theta ^{2}}{25\varpi ^{2}}}\right)\ldots \,;$

c’est-à-dire,

$R=2P\operatorname {Cos} .\theta ,$

comme il s’agissait de le prouver.