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Soient $m$ le degré de l’équation proposée, $n$ le nombre des termes qui précèdent le premier terme négatif et $G$ le plus grand de tous les coefficiens négatifs pris positivement. Si nous trouvons une limite pour le cas le plus défavorable, à plus forte raison pourrons-nous l’admettre pour les cas qui le seront moins.

Or, le cas le plus défavorable est celui où les termes qui suivent le n.^ième seraient tous négatifs at auraient tous $G$ pour coefficient, et où tous les termes entre le premier et le (n+1).^ième seraient nuls ; de sorte qu’il suffit de trouver la plus petite des valeurs de $x$ qui puissent satisfaire à l’inégalité

$x^{m}>G\left(x^{m-n}+x^{m-n-1}+\ldots +x^{2}+x+1\right).$

Or, cette inégalité peut être mise sous cette forme

$x^{m}>G.{\frac {x^{m-n+1}-1}{x-1}},$

puis sous celle-ci

$x-1>G.{\frac {x^{m-n+1}-1}{x^{m}}},$

puis enfin sous cette autre

$x-1>{\frac {G}{x^{n-1}}}.{\frac {x^{m-n+1}-1}{x^{m+n-1}}}\,;$

or, on satisfait évidemment à cette dernière inégalité, en posant

$x-1>{\frac {G}{x^{n-1}}}\,;$

car alors, $x$ étant plus grand que l’unité, ${\frac {x^{m-n+1}-1}{x^{m+n-1}}}$ sera une fraction proprement dite.

$x$ étant ainsi $>1$, il s’ensuit qu’on doit avoir $x^{n-1}>(x-1)^{n-1}\,;$ et par suite,

${\frac {G}{x^{n-1}}}>{\frac {G}{(x-1)^{n-1}}}\,;$

donc, à plus forte raison, on aura