Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/319

$(bx+ay-ab)^{2}-\left\{2ax-a^{2}+\left(r^{2}-r'^{2}\right)\right\}\left\{2by-b^{2}+\left(r^{2}-r'^{2}\right)\right\}=0\,;$

ou bien encore

$(bx-ay)^{2}-\left(2ax+2by-a^{2}-b^{2}\right)\left(r^{2}-r'^{2}\right)-\left(r^{2}-r'^{2}\right)^{2}=0\,;$

équation que l’on voit appartenir à une parabole.

Pour juger plus aisément de la grandeur et de la situation de la courbe, supposons que nous ayons fait passer l’axe des $x$ ; par les centres des deux cercles ; alors nous aurons $b=0$, et $a$ deviendra la distance entre ces centres ; l’équation sera, dans ce cas,

$a^{2}y^{2}=\left(r^{2}-r'^{2}\right)\left\{2ax-a^{2}+\left(r^{2}-r'^{2}\right)\right\},$

qu’on pourra écrire ainsi

$y^{2}={\frac {r^{2}-r'^{2}}{{\frac {1}{2}}a}}\left(x-{\frac {1}{2}}a+{\frac {r^{2}-r'^{2}}{2a}}\right).$

L’équation, mise sous cette forme, nous montre que l’axe de la parabole est dirigé suivant la droite qui joint les centres des deux cercles, que son sommet se trouve sur cette droite, à une distance du centre du plus petit, exprimée par

${\frac {1}{2}}a-{\frac {r^{2}-r'^{2}}{2a}},$

et que son paramètre a pour expression

${\frac {r^{2}-r'^{2}}{{\frac {1}{2}}a}}\,;$

d’où il suit que la distance de son sommet à son foyer est