II. Trois cercles étant tracés sur un même plan ; si, pour chaque couple de cercles, on décrit une parabole dont le foyer soit le milieu de la droite qui joint leurs centres, et le sommet le point où cette droits est coupée par leur axe radical ; les trois paraboles ainsi décrites auront trois tangentes communes, au plus, sur chacune desquelles les trois cercles intercepteront des cordes de même longueur.
Du théorème I.er il est facile de conclure le suivant :
iii. Si un plan se meut dans l’espace de telle sorte que deux sphères fixes interceptent constamment sur lui deux cercles de même rayon, ce plan sera, dans son mouvement, toujours tangent à un paraboloïde de révolution dont l’axe passera par les centres des deux sphères. Ce paraboloïde aura son foyer au milieu de la droite qui joint ces centres, et son sommet au point où cette droite sera coupée par le plan radical des deux sphères.
Soit présentement trois sphères dont soit la plus petite si elles sont inégales. Soient construits deux paraboloïdes de résolution, l’un ayant son foyer au milieu de la droite qui joint les centres de et et son sommet au point où cette droite est coupée par leur plan radical, et l’autre ayant son foyer au milieu de la droite qui joint les centres de et et son sommet au point où cette droite est coupée par leur plan radical.
D’après le théorème iii, les deux sphères et intercepteront des cercles de même rayon sur tout plan tangent au paraboloïde et les deux sphères et intercepteront pareillement des cercles de même rayon sur tout plan tangent au paraboloïde donc les trois sphères intercepteront des cercles de même rayon sur tout plan tangent commun aux deux paraboloïdes et et par conséquent sur tout plan tangent à la surface développable circonscrite à ces deux paraboloïdes, laquelle aura trois nappes au plus.
