Mais si l’on construit un troisième paraboloïde de révolution dont le foyer soit le milieu de la droite qui joint les centres de et et le sommet le point ou cette droite est coupée par le plan radical de ces deux sphères, tout plan sur lequel et intercepteront des cercles de même rayon, et par suite tout plan tangent commun aux paraboloïdes et ou encore tout plan tangent à la surface développables circonscrite, devra être tangent à ce troisième paraboloïde ; et par suite il devra être aussi tangent et à la surface développable circonscrite à et et à la surface développable circonscrite à et lesquelles devront ainsi être les mêmes que la surface développable circonscrite à et les trois paraboloïdes seront donc inscriptibles à une même surface développable ; et les trois sphères intercepteront sur tout plan tangent à cette dernière surface, lequel sera aussi tangent aux trois paraboloïdes des cercles de même rayon.
On a donc ce théorème :
IV. Trois sphères étant données dans l’espace, si, pour chaque couple de sphère, on construit un paraboloïde de révolution, ayant pour foyer le milieu de la droite qui joint leurs centres, et pour sommet le point où cette droite est coupée par leur plan radical ; les trois paraboloïdes ainsi conditionnés seront inscriptibles à une seule et même surface développable, ayant trois nappes au plus ; et les trois sphères intercepteront sur tout plan tangent à cette surface, lequel sera aussi tangent aux trois paraboloïdes, des cercles de même rayon[1].
Soient enfin quatre sphères données dans l’espace,
- ↑ M. Paul Martinelli, qui a pris la peine de calculer l’équation de cette surface développable, l’a trouvée du sixième degré ; ce qui s’accorde parfaitement avec l’existence de ses trois nappes.
