demeurerait pas moins de la plus exacte vérité, et on ne pourrait, au plus, leur objecter que leur inutilité. Il ne nous reste donc plus maintenant qu’à montrer, par des applications variées, combien il s’en faut que ce reproche puisse leur être appliqué ; et c’est là ce que nous nous proposons de faire dans l’article que l’on va lire et dans plusieurs autres qui le suivront.
Nous choisirons, pour première application, une classe de questions qui, bien qu’elles se présentent fréquemment à résoudre en géométrie et en mécanique, n’en sont pas moins, au fond, du simple domaine de l’analyse : ce sont les questions de maxima et de minima, dans les fonctions explicites ou implicites d’une ou de plusieurs variables, indépendantes les unes des autres ou liées entre elles par des relations plus ou moins nombreuses. La théorie qui les concerne se trouve exposée dans tous les traités de calcul différentiel ; mais, outre qu’elle n’y est peut-être pas présentée d’une manière assez large, assez lumineuse et assez complète, il est, sur ce sujet, quelques points de doctrine qui paraissent avoir échappé jusqu’ici à l’attention des analystes, et que nous aurons soin de signaler, chemin faisant, de manière à offrir encore quelque chose de neuf, sur un sujet qu’on pourrait croire épuisé.
I. Considérons, en premier lieu, une fonction
de la seule variable , et supposons qu’on donne à cette variable toutes les valeurs réelles comprises entre l’infini négatif et l’infini positif ; il pourra d’abord se faire que, pour toutes ces valeurs, la fonction soit constamment imaginaire ou constamment réelle ; mais souvent aussi elle sera réelle, pour certaines séries de valeurs, et imaginaires pour toutes les autres.
Soient deux limites entre lesquelles les valeurs de rendent constamment réelle ; il pourra se faire que, de la pre-
