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de $x$ rendrait cette fonction plus grande et qu’elle n’en serait pas moins réputée appartenir à un minimum de cette même fonction $X,$ quand bien même une autre valeur de $x$ rendrait cette fonction plus petite ; et c’est là un point qu’il ne faut jamais perdre de vue dans la théorie qui nous occupe. L’essentiel est seulement pour un maximum, que les valeurs qui le précéderont et le suivront immédiatement soient, les unes et les autres, moindres que la sienne, et, pour un minimum, que les valeurs qui le précéderont et le suivront immédiatement soient, les unes et les autres, plus grandes que la sienne^[1].

Ces choses ainsi entendues, soit $i$ une grandeur indéterminée, homogène avec $x$, et susceptible de toutes les valeurs possibles, entre l’infini négatif et l’infini positif. Si l’on suppose que $x$ se change en $x+i,\ X$ ou $\operatorname {f} (x)$ deviendra $\operatorname {f} (x+i).$ Alors la valeur de $x$ qui répondra à un maximum de $X$ devra être déterminée par cette condition qu’on puisse toujours prendre $i$ assez petit, sans être nul, pour que, pour toutes ses valeurs, jusqu’à $i=0,$ on ait constamment, quelque soit son signe,

$\operatorname {f} (x+i)<\operatorname {f} (x),\quad$ou$\quad \operatorname {f} (x+i)-\operatorname {f} (x)<0\,;$

tandis qu’au contraire la valeur de $x$ qui répondra à un minimum de $X$ devra être déterminée, sous les mêmes restrictions, par la condition

$\operatorname {f} (x+i)>\operatorname {f} (x),\quad$ou$\quad \operatorname {f} (x+i)-\operatorname {f} (x)>0.$

En développant donc, comme à la pag. 252, par la série de Taylor, nous pourrons réunir les deux conditions ainsi qu’il suit :

1. Tout cela devient manifeste, en considérant $X$ comme l’ordonnée d’une courbe sinueuse, dont $x$ est l’abscisse.