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pour ne faire dépendre le signe total de ce développement que du signe de son premier terme qu’on ne peut plus ici rendre, à volonté, positif ou négatif, en variant le signe de $i,$ il s’ensuit que ce signe total sera ou constamment négatif, comme l’exige le maximum, ou constamment positifs comme l’exige le minimum, pour toutes les valeurs de $i$ jusqu’à zéro, et quel que soit le signe de cet accroissement ; cette valeur de $x$ répondra donc, en effet, à un maximum ou à un minimum de la fonction $X,$ suivant qu’elle rendra ${\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}$ négatif ou positij ; on peut donc écrire

$X\left\{{\begin{aligned}&maximum\\&minimum\end{aligned}}\right\}$si l’on a ${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&<\\&>\end{aligned}}\right\}0.$

Mais si une valeur de $x$, tirée de l’équation (2), rendait nul le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}},$ sans rendre nul le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}},$ les conditions (1), pour cette valeur de $x,$ se réduisant à

$X\left\{{\begin{aligned}&maximum\\&minimum\end{aligned}}\right\}$si l’on a ${\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}{\frac {i^{3}}{1.2.3}}+{\frac {\operatorname {d} ^{4}X}{\operatorname {d} x^{4}}}{\frac {i^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots \left\{{\begin{aligned}&<\\&>\end{aligned}}\right\}0\,;$

ces conditions ne pourraient plus être satisfaites ; car, comme on pourrait toujours prendre $i$ assez petit, sans être nul, pour ne faire dépendre le signe de tout le développement que du signe de son premier terme que l’on peut ici rendre à volonté positif ou négatif, en variant le signe de $i,$ il s’ensuit que ce développement ne pourrait plus être ni constamment négatif, comme l’exige le maximum, ni constamment positifs comme l’exige le minimum, pour toutes les valeurs de $i,$ jusqu’à zéro, et quel que fût le signe de cet accroissement ; cette valeur de $x$ ne répondrait donc alors ni à un maximum ni à un minimum de la fonction $X.$