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Supposons qu’une valeur de $x$, tirée de l’équation (2), rende nuls non seulement le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}},$ mais encore le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}},$ sans néanmoins rendre nul le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} ^{4}X}{\operatorname {d} x^{4}}}$ ; alors, pour cette valeur de $x$, les conditions (1) se réduisant à

$X\left\{{\begin{aligned}&maximum\\&minimum\end{aligned}}\right\}$si l’on a ${\frac {\operatorname {d} ^{4}X}{\operatorname {d} x^{4}}}{\frac {i^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {\operatorname {d} ^{5}X}{\operatorname {d} x^{5}}}{\frac {i^{5}}{1.2.3.4.5}}+\ldots \left\{{\begin{aligned}&<\\&>\end{aligned}}\right\}0\,;$

comme on pourrait toujours prendre $i$ assez petit, sans être nul, pour ne faire dépendre le signe total du développement que du signe de son premier terme qu’on ne saurait ici rendre, à volonté, positif ou négatif, en variant le signe de $i,$ il s’ensuit que ce développement serait ou constamment négatif comme l’exige le maximum, ou constamment positif comme l’exige le minimum, pour toutes les valeurs de $i,$ jusqu’à zéro ; et, quel que fût le signe de cet accroissement, cetie valeur de $x$ répondrait donc alors, en effet, à un maximum ou à un minimum de la fonction $X,$ suivant qu’elle rendrait ${\frac {\operatorname {d} ^{4}X}{\operatorname {d} x^{4}}}$ négatif ou positif.

Il n’est pas besoin d’aller plus loin pour voir qu’en général, si une valeur de $x$ tirée de l’équation ${\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}=0$ rend nuls, à la fois, tous les coefficiens différentiels

${\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}},{\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}},{\frac {\operatorname {d} ^{4}X}{\operatorname {d} x^{4}}},\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{2n-1}X}{\operatorname {d} x^{2n-1}}},$

sans rendre nul le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} ^{2n}X}{\operatorname {d} x^{2n}}},$ cette valeur de $x$ répondra nécessairement à un maximum ou à un minimum de la