![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} s}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be623dd26653f6693084f1b9db336fb9cec55241)
or, puisque les relations de
et
avec
sont indéterminées, les variations
et
doient être absolument indépendantes l’une de l’autre, de sorte qu’on ne pourra avoir
qu’autant qu’on aura séparément
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e09db6e5c43aaec04960f60c18d8a5205b21edc)
telles sont donc, dans tous les cas, les deux équations qui donneront les seuls systèmes de valeurs de
et
parmi lesquels devront se trouver ceux qui rendront la fonction
maximum ou minimum, si toutefois elle est susceptible de devenir l’un ou l’autre.
En ayant égard aux équations (3), on trouve simplement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}\delta x^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\delta x\delta y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}\delta y^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceeddf61b2d448d95073645574d2b36961b12f36)
d’où l’on voit, à caise de l’indétermination et de l’indépendance de
et
, que
ne pourra être nul pour un système de valeurs de
et
, tirées des équations (3), qu’autant que ce système de valeurs rendra nuls, à la fois, les trois coefficiens différentiels
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7b226239caafebd74b56f0d2b8a4ceb4330ed0)
Si un système de valeurs de
et
, tirées des équations (3), ne rend pas, à la fois, ces trois coefficiens nuls, il pourra y avoir un maximum ou un minimum de la fonction
répondant à ce système, mais il faudra pour cela que la fonction
ou