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${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} s}}={\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y\,;$

or, puisque les relations de $x$ et $y$ avec $s$ sont indéterminées, les variations $\delta x$ et $\delta y$ doient être absolument indépendantes l’une de l’autre, de sorte qu’on ne pourra avoir ${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} s}}=0,$ qu’autant qu’on aura séparément

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;$

telles sont donc, dans tous les cas, les deux équations qui donneront les seuls systèmes de valeurs de $x$ et $y$ parmi lesquels devront se trouver ceux qui rendront la fonction $S$ maximum ou minimum, si toutefois elle est susceptible de devenir l’un ou l’autre.

En ayant égard aux équations (3), on trouve simplement

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}\delta x^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\delta x\delta y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}\delta y^{2}\,;$

d’où l’on voit, à caise de l’indétermination et de l’indépendance de $\delta x$ et $\delta y$, que ${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}$ ne pourra être nul pour un système de valeurs de $x$ et $y$, tirées des équations (3), qu’autant que ce système de valeurs rendra nuls, à la fois, les trois coefficiens différentiels

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}.$

Si un système de valeurs de $x$ et $y$, tirées des équations (3), ne rend pas, à la fois, ces trois coefficiens nuls, il pourra y avoir un maximum ou un minimum de la fonction $S,$ répondant à ce système, mais il faudra pour cela que la fonction ${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}$ ou