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${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}\delta x^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\delta x\delta y+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}\delta y^{2},\qquad$(4)

conserve constamment le même signe quelles que soient les variations $\delta x$ et $\delta y,$ et il y aura maximum ou minimum suivant que ce signe invariable sera négatif ou positif.

Cette condition sera infailliblement remplie, quels que soient $\delta x$ et $\delta y$, si la fonction (4) n’est décomposable qu’en facteurs imaginaires du premier degré, c’est-à-dire si l’on a

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}<0\,;\qquad$(5)

ce qui exige évidemment que les deux coefficiens différentiels

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}},$

soient de même signe ; et, comme leur signe commun sera aussi évidemment le signe invariable de la fonction (4), il s’ensuit qu’il y aura maximum ou minimum suivant qu’ils seront tous deux négatifs ou tous deux positifs.

Euler n’avait indiqué que la nécessité d’avoir ces deux coefficiens différentiels de même signe, et c’est Lagrange qui a signalé le premier la condition (5). Mais on verra tout à l’heure que, si l’un n’exigeait pas assez, l’autre a exigé un peu trop.

En ayant égard aux équations (3), et en supposant nuls les trois coefficiens différentiels

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}},$

on trouve

${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} s^{3}}}={\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}}\delta x^{3}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}}\delta x^{2}\delta y+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}}\delta x\delta y^{2}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{3}}},$