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d’où l’on voit, à cause de l’indétermination et de l’indépendance des variations $\delta x$ et $\delta y$, que, si un système de valeurs de $x$ et $y,$ tirées des équations (3), ne rend pas nuls à la fois les quatre coefficiens différentiels

${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{3}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{2}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} y^{3}}},$

le coefficient différentiel ${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} s^{3}}}$ ne pourra devenir nul quels que soient $\delta x$ et $\delta y$ ; et conséquemmenfc ce système de valeurs ne répondra ni à un maximum ni à un minimum de la fonction $S.$

Mais si un système de valeurs de $x$ et $y$, tirées des équations (3), rend ces quatre coefficiens différentiels nuls, comme ceux qui les précèdent, on trouvera alors

${\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} s^{4}}}={\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{4}}}+4{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{3}\operatorname {d} y}}\delta x^{3}\delta y+6{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y^{2}}}\delta x^{2}\delta y^{2}+4{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{3}}}\delta x\delta y^{3}+{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} y^{4}}}\delta y^{4},$

et il pourra y avoir, pour ce système de valeur, maximum ou minimum de la fonction $S\,;$ mais il faudra, pour cela, que la fonction ${\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} s^{4}}}$ ou

${\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{4}}}+4{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{3}\operatorname {d} y}}\delta x^{3}\delta y+6{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y^{2}}}\delta x^{2}\delta y^{2}+4{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{3}}}\delta x\delta y^{3}+{\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} y^{4}}}\delta y^{4},$ (6)

conserve constamment le même signe quelles que soient les variations $\delta x$ et $\delta y\,;$ et il y aura maximum ou minimum suivant que ce signe invariable sera négatif ou positif.

C (6)ette condition sera infailliblement remplie, quels que soient $\delta x$ et $\delta y$, si les facteurs du premier degré de la fonction (6) sont tous quatre imaginaires ; mais c’est là une circonstance que l’on ne sait point encore exprimer généralement d’une manière simple et symétrique, et sur laquelle nous pourrons revenir dans une autre occasion.