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Si un système de valeurs de $x$ et $y$, tirées des équations (3) rendait nuls, à la fois, les cinq coefficiens différentiels du quatrième ordre

${\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{4}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{3}\operatorname {d} y}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x^{2}\operatorname {d} y^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y^{3}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} y^{4}}},$

ainsi que tous ceux des ordres inférieurs, sans rendre nuls, à la fois, tous ceux du cinquième ordre, alors ${\frac {\operatorname {d} ^{5}S}{\operatorname {d} s^{5}}}$ ne pourrait deveilir nul, pour ce même système de valeur, quels que fussent $\delta x$ et $\delta y$ ; de sorte qu’il ne répondrait à ce système de valeurs ni maximum ni minimum de la fonction $S.$

Nous venons de présenter les conditions de maxima et de minima des fonctions de deux variables, telles qu’on les rencontre dans tous les traités sur la matière ; mais nous allons voir que ces conditions exigent souvent trop, et qu’on n’a point fait, jusqu’ici, une analyse assez soigneuse de tous les cas qui peuvent s’offrir.

Supposons d’abord qu’en vertu de la substitution de l’un des systèmes de valeurs, tirés des équations (3), on ait

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}=0\,;\qquad$(7)

tout ce qu’on en devra conclure, c’est que ${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}$ est de la forme

$M(P\delta x+Q\delta y)^{2},$

et que conséquemment quelque valeur qu’on donne à $\delta x$ et $\delta y,\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}$ ne prendra jamais un signe différent de celui de $M.$

Mais si l’on prend $\delta x$ et $\delta y$ de telle sorte que l’on ait $P\delta x+Q\delta y=0$ ; comme, en général, en vertu de cette hypothèse, ${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} s^{3}}}$ ne deviendra pas identiquement nul, il s’ensuit qu’alors il n’y aura,