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généralement parlant, ni maximum ni minimum, ce qui est conforme aux théories connues.

Il pourrait se faire cependant que ${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} s^{3}}}$ contient le facteur $P\delta x+Q\delta y$ ; et si d’ailleurs ${\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} s^{4}}}$ gardait invariablement le même signe que $M,$ quels que pussent être $\delta x$ et $\delta y$, on voit qu’alors, soit qu’on supposât $P\delta x+Q\delta y=0,$ soit qu’on donnât à $\delta x$ et $\delta y$ des valeurs qui ne vérifiassent pas cette condition, le premier coefficient différentiel que la substitution ne ferait pas disparaître serait toujours un coefficient différentiel d’un ordre pair, conservant constamment le signe de $M\,;$ il y aurait donc maximum ou minimum, bien que la condition (5) ne fût pas satisfaite, suivant que ce signe serait négatif ou positif.

Les mêmes considérations prouvent que, si un système de valeurs de $x$ et $y$, tirées des équations (3), rend identiquement nuls ${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}$ et ${\frac {\operatorname {d} ^{3}S}{\operatorname {d} s^{3}}},$ sans rendre identiquement nul ${\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} s^{4}}}$ ; il ne sera pas indispensable, pour le maximum ou le minimum, que les facteurs du premier degré de cette fonction soient tous quatre imaginaires. Si, par exemple, cette fonction a deux facteurs réels égaux et deux facteurs imaginaires, que l’un de ces facteurs égaux se trouve dans ${\frac {\operatorname {d} ^{5}S}{\operatorname {d} s^{5}}}$, sans se trouver dans ${\frac {\operatorname {d} ^{6}S}{\operatorname {d} s^{6}}}$, et si enfin cette dernière fonction conserve constamment le signe de ${\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} s^{4}}}$, quels que soient $\delta x$ et $\delta y$, il y aura maximum ou minimum, suivant que ce signe commun sera négatif ou positif. Il en irait encore de même si, ${\frac {\operatorname {d} ^{4}S}{\operatorname {d} s^{4}}}$ ayant deux couples de facteurs réels égaux, l’un des facteurs de l’un ou l’autre couple se trouvait dans ${\frac {\operatorname {d} ^{5}S}{\operatorname {d} s^{5}}}$, sans se trouver dans ${\frac {\operatorname {d} ^{6}S}{\operatorname {d} s^{6}}}$. On sent d’ailleurs ce qu’il y aurait à dire si l’on voulait étendre ces considérations aux coefficiens différentiels des ordres plus élevés.