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Il peut souvent arriver que les équations (3) admettent un facteur commun, fonction de $x$ et $y$ ; et, si l’on admet un système de valeurs de ces variables qui rende ce facteur nul, ce qu’on pourra faire d’une infinité de manière différentes, on se trouvera précisément dans le cas dont il vient d’être question. Si, en effet, on a

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=FT,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=FU,$

et qu’on prenne $x$ et $y$ de manière à vérifier l’équation

$F=0,$

on aura, en ayant égard à cette condition

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=T{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=T{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} y}}=U{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}=U{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} y}},$

et conséquemment

$2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=T{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} y}}+U{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} x}}\,;$

il en résultera

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}=T{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} x}}\delta x^{2}+\left(T{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} y}}+U{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} x}}\right)\delta x\delta y+U{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} y}}\delta y^{2}\,;$

c’est-à-dire,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} s^{2}}}=(T\delta x+U\delta y)\left({\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} y}}\delta y\right)\,;$

mais les équations ci-dessus donnent