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Mais, outre que l’équation (9) peut souvent être très difficile ou même impossible à résoudre, par rapport à l’une ou à l’autre des deux variables qu’elle renferme, ce procédé manquerait tout à fait d’élégance et de symétrie, il vaudra donc beaucoup mieux lui substituer le suivant :

Si l’on conçoit une équation arbitraire entre $x,y$ et une troisième variable $s$ ; à l’aide de cette équation et de l’équation (9), $x$ et $y,$ et conséquemment $S,$ seront des fonctions de la seule variable $s,$ et conséquemment la condition commune au maximum et au minimum de $S$ sera, comme ci-dessus (II),

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y=0\,;\qquad$(10)

mais ici $\delta x$ et $\delta y$ ne serons plus indépendans ; car, en différenciant l’équation (9) par rapport à $s$, on aura

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\delta y=0\,;\qquad$(11)

éliminant donc, entre ces deux équations, une quelconque des deux variations $\delta x$ et $\delta y,$ l’autre disparaîtra aussi, et il viendra

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;\qquad$(12)

équation qui, combiné avec (9), fera connaître les divers systèmes de valeurs de $x$ et $y$ parmi lesquels seulement pourront se trouver ceux qui rendront un maximum ou minimum.

V. Soit présentement $S$ une fonction de trois variable $x,y,z,$ liées entre elles par l’équation