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$\varphi (x,y,z)=V=0\,;\qquad$(13)

et supposons qu’il soit question de déterminer, parmi les systèmes de valeurs, en nombre infini, de ces trois variables, qui vérifient l’équation (13), quelles sont ceux qui rendent la fonction $S$ maximum au minimum.

En tirant de l’équation (13) la valeur de l’une des trois variables, de $z$, par exemple, en fonction des deux autres $x,y,$ pour la substituer dans $S,$ on ramènerait évidemment la question au cas des fonctions de deux variables indépendantes, que nous avons déjà traité (II) ; mais, pour les mêmes raisons que ci-dessus, il vaudra mieux procéder comme il suit.

Supposons que, outre l’équation (13), il existe deux autres équations, tout à fait arbitraire, entre les trois variables $x,y,z$ et une quatrième variable $s\,;$ au moyen de ses trois équations $x,y,z,$ ainsi que $S,$ se trouveront simplement fonction de cette dernière variable ; de sorte que la condition commune au maximum et au minimum sera, comme ci-dessus (III),

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;\qquad$(14)

mais ici les variations $\delta x,\delta y,\delta z$ ne sont pas absolument indépendantes, car l’équation (13) donne

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;\qquad$(15)

éliminant une quelconque des trois variations, $\delta z$ par exemple, entre ces deux équations, on aura

$\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)\delta x+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)\delta y=0\,;$