![{\displaystyle \varphi (x,y,z)=V=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723e8e7e1141d0d0ba12c4445bfa034ccd1150a8)
(13)
et supposons qu’il soit question de déterminer, parmi les systèmes de valeurs, en nombre infini, de ces trois variables, qui vérifient l’équation (13), quelles sont ceux qui rendent la fonction
maximum au minimum.
En tirant de l’équation (13) la valeur de l’une des trois variables, de
, par exemple, en fonction des deux autres
pour la substituer dans
on ramènerait évidemment la question au cas des fonctions de deux variables indépendantes, que nous avons déjà traité (II) ; mais, pour les mêmes raisons que ci-dessus, il vaudra mieux procéder comme il suit.
Supposons que, outre l’équation (13), il existe deux autres équations, tout à fait arbitraire, entre les trois variables
et une quatrième variable
au moyen de ses trois équations
ainsi que
se trouveront simplement fonction de cette dernière variable ; de sorte que la condition commune au maximum et au minimum sera, comme ci-dessus (III),
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddfc17775518da1bb16f876e1c5ccf5ee6f6cda7)
(14)
mais ici les variations
ne sont pas absolument indépendantes, car l’équation (13) donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26438d4046714dccf8c927f8de14973ced8e8f46)
(15)
éliminant une quelconque des trois variations,
par exemple, entre ces deux équations, on aura
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)\delta x+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\right)\delta y=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1476b1e9839dcc1b7fd3a7660fe49bf721b96c1a)