Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/350

équation qui doit de évidemment laisser indéterminée le rapport entre $\delta x$ et $\delta y,$ et qui se résout conséquemment en ces deux-ci :

${\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}=0\,;$

ou, plus symétriquement,

${\frac {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}}={\frac {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}}={\frac {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}}\,;\qquad$(16)

équations qui, combinées avec l’équation (13) feront connaître les systèmes de valeurs de $x,y,z$ parmi lesquels seulement devront se trouver ceux qui rendront un maximum ou minimum.

VI. $S$ étant toujours fonction des trois variables $x,y,z$ ; si ces variables sont liées entre elles par les deux équations

$\varphi (x,y,z)=V=0,\qquad \varphi '(x,y,z)=V'=0,\qquad$(17)

pour suivre toujours la même marche que ci-dessus au lieu de tirer des équations (17) les valeurs de deux des variables, $y$ et $z$ par exemple, en fonction de la troisième $x,$ pour les substituer dans $S$ qui deviendrait ainsi une simple fonction de $x$ ; on supposera une équation arbitraire entre $x,y,z$ et une quatrième variable $s$ ; au moyen de cette équation et des équations (17), $x,y,z,$ ainsi que $S,$ se trouveront simplement fonction de cette dernière variable ; de sorte que la condition commune au maximum et au minimum sera (III)

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;$

les variations $\delta x,\delta y,\delta z,$ étant liées entre elles par les deux relations