Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/351

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}\delta z=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} z}}\delta z=0\,;\end{aligned}}$

éliminant, entre ces trois équations, deux quelconques des trois variations $\delta x,\delta y,\delta z,$ la troisième disparaîtra d’elle-même, et l’on aura

$\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} y}}\right){\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} z}}\right){\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}$

$+\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x}}\right){\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}=0\,;\qquad$(18)

équation qui, combinée avec les équations (17), fera connaître les systèmes de valeurs de $x,y,z$ parmi lesquels seulement devront se trouver ceux qui rendront la fonction $S$ maximum ou minimum.

vii. Généralement, s’il s’agit de rendre maximum ou minimum une fonction $S$ d’un nombre quelconque de variables $x,y,z,\ldots$, liées entre elles par un nombre quelconque d’équations $V=0,\ V'=0,\ V''=0,\ldots$ ; on égalera séparément à zéro les variations tant de $S$ que de $V,V',V'',\ldots ,$ prises par rapport à toutes les variables $x,y,z,\ldots$ considérées comme fonctions d’une nouvelle variable $s\,;$ on éliminera, entre les équations résultantes, autant des variations $\delta x,\delta y,\delta z,\ldots$ qu’il se pourra ; égalant alors séparément à zéro, dans l’équation finale, les coefficiens des variations restantes, il en résultera des équations en $x,y,z,\ldots$ qui, jointes aux équations $V=0,\ V'=0,$$V''=0,\ldots ,$ se trouveront précisément en nombre égal à celui de ces variables ; et ce sera parmi les systèmes de valeurs de ces mêmes variables, déduits de