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ces équations, que pourront se trouver ceux qui rendront la fonction $S$ maximum ou minimum.

À ce procédé on pourra, au surplus, substituer le suivant qui n’en diffère que par la forme : à la variation de $S,$ on ajoutera les produits respectifs des variations de $V,V',V'',\ldots ,$ par des multiplicateurs $\lambda ,\lambda ',\lambda '',\ldots \,;$ on égalera séparément à zéro, dans la somme, les coefficiens de $\delta x,\delta y,\delta z,\ldots \,;$ et on éliminera ensuite les multiplicateurs $\lambda ,\lambda ',\lambda '',\ldots ,$ entre les équations résultantes.

viii. Toutes les fonctions dont il a été question ci-dessus étaient des fonctions explicites ; mais soit donnée, entre deux variables $x$ et $y$, une équation

$S=0\,;$

au moyen de cette équation, chacune des deux variables sera une fonction implicite de l’autre ; et l’on pourra se proposer de déterminer cette dernière de manière à rendre la première maximum ou minimum.

Supposons, par exemple, qu’il soit question de déterminer $x$ de manière à rendre $y$ maximum, ou minimum ; la première pensée qui s’offrirait, pour résoudre cette question, serait de résoudre l’équation proposée par rapport à $y$ qui deviendrait ainsi une fonction explicite de $x$, ce qui ramènerait la question à celle que nous avons déjà traitée (I) ; mais comme la proposée pourrait être difficile ou même impossible à résoudre, par rapport à $y$, il sera beaucoup plus convenable d’opérer de la manière suivante :

En considérant $y$ comme fonction de la variable indépendante $x,$ la proposée donne (pag. 277)

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0\,;$