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or, la condition commune au maximum et au minimum de $y$ est ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;$ on aura donc, dans ce cas,

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0\,;$

équation de laquelle éliminant $y$, au moyen de la proposée, on aura l’équation en $x$ qui donnera les valeurs de cette variable parmi lesquelles seulement pourront se trouver celles qui rendront $y$ maximum ou minimum.

Il est aisé de conclure de là que si, au contraire, il s’agissait d’assigner les valeurs de $y$ qui rendent $x$ maximum ou minimum, on y parviendrait en éliminant $x$ entre les deux équations

$S=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0.$

ix. Supposons, en second lieu, que l’équation $S=0$ contienne trois variables $x,y,z$, et qu’il soit question d’assigner, parmi les systèmes de valeurs, en nombre infini, qu’on peut prendre pour $x$ et $y$, ceux qui rendent $z$ maximum ou minimum. Pour les mêmes raisons que ci-dessus, au lieu de résoudre l’équation par rapport à $z$, ce qui ramènerait la question au cas des fonctions explicites de deux variables (II), on remarquera que la proposée, en y considérant $z$ comme fonction de $x$ et $y$, donne (pag. 279) les deux différentielles partielles,

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0\,;$

or, les conditions communes au maximum et au minimum de $z$ sont ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0,\ {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=0,$ ; on devra doncavoir, dans ce cas,