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au moyen desquelles deux quelconques de ces variables sont fonctions l’une de l’autre ; et supposons que, par exemple, il soit question de déterminer $x$ de manière à rendre $y$ maximum ou minimum. Pour suivre toujours la même marche, au lieu d’éliminer $x$ entre ces deux équations, ce qui ramènerait la questionna l’une des précédentes (VIII) ; on remarquera qu’au moyen de ces deux équations $y$ et $z$ étant des fonctions de $x\,;$ on doit avoir (pag. 281)

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0,\\\\&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0\,;\end{aligned}}$

or, la condition commune au maximum et au minimum de $y$ est ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,$ au moyen de laquelle ces deux équations se réduisent à

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0\,;$

entre lesquelles éliminant ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}},$ il viendra

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x}}=0\,;$

d’où éliminant $y$ et $z$, au moyen des deux proposées, l’équation résultante donnera les valeurs de $x$ qui conviennent aux maxima et aux minima de $y$.

Ce qui précède nous paraît plus que suffisant pour montrer de quelle manière on devra se conduire dans tous les cas qui pourront se présenter.