Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/359

ARITHMÉTIQUE.

Démonstration d’une propriété des nombres ;

Extraite du Journal de M. Crelle.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

À la pag. 296, du V.^me volume de son Journal, M. Crelle démontre le théorème suivant.

THÉORÈME. Un nombre donné quelconque est toujours diviseur d’un autre nombre exprimé par des périodes de chiffres donnés, suivies d’un certain nombre de zéros.

Soit, par exemple, la période donnée $4813$ ; il n’est absolument aucun nombre qui ne soit diviseur d’un nombre de la forme

$48134813\ldots 481348130000\ldots 0000,$

pourvu qu’on y varie, d’une manière convenable, et le nombre des périodes et le nombre des zéros.

En particulier, le nombre des zéros pourra être quelconque si le diviseur, dont il s’agit, est premier à dix ; il en sera de même du nombre des périodes, si ce diviseur est diviseur d’une puissance de dix ; dans tous les autres cas, le nombre tant des périodes que des zéros aura un minimum au-dessous duquel il ne devra pas tomber.

La démonstration de ce théorème que donne M. Crelle, à l’endroit cité, revient, pour le fond, à ce qui suit :

Démonstration. Il est connu qu’en divisant les puissances successives $1,a,a^{2},a^{3},a^{4},\ldots$ d’un nombre quelconque $a$ par un diviseur quelconque $\delta ,$ les restes successifs, lesquels ne sauraient