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être de plus de $\delta$ sortes, sont immédiatement périodiques, ou du moins le deviennent, passé un certain terme, suivant que $\delta$ est ou n’est pas premier à $a$.

Soit $a^{m+1}$ la puissance de $a$ qui donne le premier reste de la période et $n$ le nombre de ses termes $<\delta$ ; et représentons par

$r_{1},r_{2},r_{3},\ldots r_{n}$

les restes correspondant respectivement à

$a^{m+1},a^{m+2},a^{m+3},\ldots a^{m+n}\,;$

il s’ensuivra qu’en divisant

$a^{m+1}+a^{m+2}+a^{m+3}+\ldots +a^{m+n},$

par $\delta ,$ on aura le même reste qu’en divisant

$r_{1}+r_{2}+r_{3}+\ldots +r_{n}$

par ce diviseur, Désignons par $\rho$ ce reste ; à cause de la périodicité, ce sera aussi le reste qu’on obtiendra en divisant par $\delta$ la somme

$a^{m+n+1}+a^{m+n+2}+a^{m+n+3}+\ldots +a^{m+2n}$

puis celle-ci :

$a^{m+2n+1}+a^{m+2n+2}+a^{m+2n+3}+\ldots +a^{m+3n},$

et ainsi de suite,

Donc aussi, en divisant par $\delta$ la somme de puissances

$a^{m+1}+a^{m+2}+\ldots +a^{m+n}+a^{m+n+1}+a^{m+n+2}+\ldots$

$+a^{m+2n}+a^{m+2n+1}+\ldots +a^{m+kn},$